УДК 519.24

Исследование асимптотических свойств оценки семивариограммы гнездовой структуры

Цеховая Т. В., доцент, Кисель А. Ю., студентка

Белорусский государственный университет, Беларусь

Рассмотрен случайный процесс с неизвестной семивариограммой гнездовой структуры. Построена оценка семивариограммы и исследованы ее статистические свойства. Полученные результаты проверены на модельных данных, используя возможности языка Python.

В настоящее время для решения ряда прикладных задач прогнозирования в геологии, гидрологии, экологии, природопользовании, здравоохранении, почвоведении и других областях находят широкое применение геостатистические методы. Ключевым понятием геостатистики является семивариограмма. В связи с этим актуальны задачи исследования свойств этой функции, а также построения и изучения ее оценок [1-4].

В данной работе рассматривается случайный процесс с семивариограммой гнездовой структуры. Процесс такого вида является математической моделью, адекватно воспроизводящей изменения во многих сложных системах окружающего мира [5].

Пусть

(1)

где , - постоянные, удовлетворяющие условию:

– гауссовские случайные процессы с математическим ожиданием и неизвестными ковариационными функциями

Предположим также, что взаимные ковариационные функции случайных процессов и , удовлетворяют равенству:

Теорема 1. Случайный процесс , является стационарным в широком смысле.

Доказательство теоремы приводится в статье [5].

Заметим, что для стационарного в широком смысле случайного процесса ковариационная функция и семивариограмма связаны соотношением [1]:

(2)

Теорема 2. Семивариограмма случайного процесса имеет представление:

, (3)

.

Доказательство теоремы приводится в работе [5].

В качестве оценки семивариограммы стационарного в широком смысле случайного процесса , построенной по последовательным полученным через одинаковые промежутки времени наблюдениям , рассмотрим статистику вида:

, (4)

где. Положим также , и для .

C помощью возможностей языка программирования Python построим оценку (4) семивариограммы.

Предположим, что , а случайные процессы , имеют соответственно ковариационные функции

,

.

Тогда из соотношения (2)

.

Принимая во внимание утверждение теоремы 2, семивариограмма процесса будет иметь вид:

. (5)

Смоделируем по , наблюдений за случайными процессами . Далее, полагая , и учитывая (1), вычислим .

Применяя пакет matplotlib, построим графики семивариограммы (5) и ее оценки (4). На рисунке 1 график оценки семивариограммы представлен зеленым цветом, а график истинной семивариограммы изображен оранжевым.

Рис. 1 – Семивариограмма и ее оценка для

Найдем выражения для первых двух моментов оценки семивариограммы случайного процесса .

Нетрудно показать, что

, (6)

, т. е. статистика (4) является несмещенной оценкой семивариограммы.

Теорема 3. Для оценки семивариограммы , случайного процесса , имеют место следующие соотношения:

, (7)

, (8)

где

(9)

,

(10)

,

(11)

(12)

.

Доказательство. В работе [5] было показано, что

.

Сделаем замену переменных и изменим порядок суммирования. Тогда, учитывая (9), (11) и (12), получим выражение (7) для ковариации.

Равенство (8) для дисперсии оценки семивариограммы (4) нетрудно получить из (7), если положить и принять во внимание (10).

Исследуем асимптотическое поведение вторых моментов оценки семивариограммы при дополнительных ограничениях на характеристики процессов , во временной области.

Теорема 4. Если имеет место:

, (13)

где – ковариационные функции случайных процессов , соответственно, то

, (14)

,

, определено равенством (12), - задаются выражениями (9), (10) соответственно.

Доказательство. Учитывая (7) рассмотрим разность

,

где задается равенством (11), .

Обозначим слагаемые в правой части последнего неравенства соответственно . Поскольку имеет место (13), то . Следовательно, слагаемые стремятся к нулю при как остаток сходящегося ряда, а при в силу леммы Кронекера [7]. Таким образом, справедливо (14).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично, если положить . Теорема доказана.

Из теоремы 4 следует, что

, (15)

.

В силу (6) и предельного равенства (15) можно сделать вывод, что является состоятельной в среднеквадратическом смысле оценкой для семивариограммы .

Библиографический список:

1. Cressie N. Statistics for Spatial Data. – New York. – Wiley, 1991. – 900 p.
2. Цеховая Т.В. Свойства вариограммы внутренне стационарных случайных процессов // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения. Материалы научной конференции. Минск: БГУ. 2004. С. 181-186.
3. Труш Н.Н., Цеховая Т.В. Исследование статистических свойств оценок вариограммы и ковариационной функции // Вести НАН Беларуси. Сер.1, Физ. Мат. Мех., №2, 2001, С. 24-29.
4. Troush, N. N.Tsekhavaya, T. V. The Variogram Estimates Of The Intrinsically-Stationary Stochastic Processes And Fields // MS'2004. International Conference on Modelling and Simulation, Minsk, Belarus, 27-29 April, 2004/ Minsk, BSU. P. 258-261.
5. Цеховая, Т.В. Первые два момента оценки семивариограммы случайного процесса с семивариограммой гнездовой структуры / Т.В. Цеховая, А.Ю. Кисель // III Международная научно-практическая конференция “НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ: ВЫЗОВЫ ХХI века”. Нур-Султан, Казахстан, 10-12 июля 2019г. / Қҧраст.: Е. Ешім, Е. Абиев т.б. – Нур-Султан, 2019. Т. IV, С. 48 – 51.
6. Taylor C. C., Burаrough P. A. Multiscale Sources of Spatial Variation in Soil. III. Improved Methods for Fitting the Nested Model to One-dimensional Semivariograms. Mathematical Geology, Vol. 18, No. 8, 1986. P. 811-821.
7. Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. – 4-е изд. – Москва, МЦНМО, 2007. – 577 с.

1. Государственный кадастр недвижимости и земельно-имущественные отношения
   
2. Мониторинг природных ресурсов и охрана окружающей среды
   
3. Комплексное использование природных ресурсов
   
4. Современные вопросы геологии
   
5. Физика горных пород
   
6. Новые технологии в природопользовании
   
7. Применение современных информационных технологий
   
8. Экономические аспекты недвижимости
   
9. Мониторинг использования объектов недвижимости
   
10. Топографо-геодезическое обеспечение кадастровых работ