В онлайне: 1 (гостей - 1, участников - 0)  Вход | Регистрация

 
УДК 504.064.2.001.18

Какую пользу могут принести методы подобия при моделировании природных явлений с помощью параболических уравнений


Рощина Т.К., доцент, Кондюрина Т.А., профессор
Южно-Российский Государственный Политехнический Университет (НПИ) имени М. И. Платова

Рассмотрены особенности применения методов подобия для задач математического моделирования процессов тепло-массообмена природных объектов.

Параболические уравнения описывают довольно широкий круг природных явлений, прежде всего таких, где перенос массы-энергии происходит вследствие разности некоторых потенциалов.

Традиционно, например [1], перед решением таких уравнений они (уравнения, краевые условия) предварительно преобразуются к "безразмерному" виду с применением так называемых "методов подобия".

Основной достигаемый при этом результат - получаем "универсальную" математическую модель, которая описывает целую группу "подобных" систем (две системы ведут себя подобным образом, если эти две системы геометрически подобны и если отношения всех существенных для данного процесса сил, энергий и физических свойств одинаковы в этих системах [2]).

Какие еще получаем бонусы:

1. Уменьшение размерности решаемых уравнений.

Поясним на примере. Процесс массопереноса в замкнутом водоеме может быть описан уравнением вида

Формула(1)


где с(x, y, z, τ) - концентрация исследуемого вещества,
D - коэффициент диффузии вещества в воде,

Формула - оператор Лапласа


Считаем:

ось Ox направлена вертикально,

h - максимальная глубина водоема,

L, M - его длина и ширина вдоль осей Oy и Oz.

В процессе нормализации произведем замену x = x/h, y = y/L, z = z/M, и получим новое уравнение

Формула(2)


Если глубина водоема (h) не превышает 10 м, а длина и ширина не меньше 1000 м, то (h/L)2 и (h/M) 22 будут иметь порядок 10 -4 - 10 -5. Следовательно, без особой потери точности модели в уравнении (2) можем просто пренебречь соответствующими членами.

В результате имеем уравнение

Формула(3)


где F0 = τD/h2 - называют числом Фурье или безразмерным временем.

То есть сразу переходим от трехмерного уравнения к одномерному.

В (3) еще остается размерная величина - с(x, F0), и ее нормализация выполняется заменой

Формула


где сMIN и сMIN определяются из краевых условий исходной задачи в соответствии с принципом максимума [3].

2. Если задачу решаем численными методами, например, при помощи разностных схем, то для уравнения вида (3) существенно упрощается исследование этих схем на устойчивость и сходимость, оценка точности аппроксимации - большинство работ на эту тему (например, [4]) посвящены именно таким уравнениям. Можно легко подобрать безусловно устойчивую разностную схему с достаточной точностью аппроксимации.

3. Большинство сред, в которых происходят процессы, моделируемые уравнением (1), являются многослойными. То есть фактически D = D(x), а на границах раздела сред задаются специальные условия сопряжения (условия неразрывности потока массы/тепла).

Однако, если применить метод дифференциального подобия [5], из уравнение вида

Формула



легко получить уравнение вида (3) и, тем самым еще больше расширить область применения алгоритмов, автоматизирующих поиск решения поставленной задачи.

Суть метода дифференциального подобия - специальная деформация области решения вдоль оси Ox.

Деформация определяется соотношением

Формула


которое определяет условия замены среды толщиной Δx с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D(x) слоем толщиной Δx' и с коэффициентом D0 = const.

В результате координаты x исходного отрезка, где D = D(x), преобразуются в новые координаты

Формула


При этом D(x') = D0 .

4. Экспериментальное подтверждение результатов моделирования, основанное на уравнении (3), позволяет не обращать внимания на природу конкретных явление, если выполняется главное условие - экспериментатор сохраняет соотношения между параметрами, образующих безразмерные комплексы:

Формулаи т.п.


Например, исследование процессов массопереноса легко заменяется аналогичными (подобными) экспериментами по распространению тепла (и наоборот).

Не смотря на привлекательность рассмотренных выше приемов нормализации, у них есть и ограничения:

  • полученные решения дают представление о качественном поведении исследуемых процессов - для того, чтобы перейти к реальным (размерным) величинам, требуется выполнить обратные преобразования. Что требует дополнительных затрат (время, дополнительные алгоритмы/программы и т.п.);
  • существует ряд задач, для которых нецелесообразно получать полностью безразмерные уравнения, так как не существует характерных параметров (аналоги h, L, M, сMIN, сMIN, D0), которые можно использовать для этих целей.

Например, "простое" усложнение краевых условий для уравнения (1),

когда верхняя граница водоема изменяется по произвольному закону χ(τ).

В результате подстановки x = x/ χ(τ) получаем уравнение вида

Формула


Здесь переменная x - уже не имеет размерности и лежит в интервале [0; 1], с(x, τ) - приводим к безразмерному виду, как описано выше,

Формула


остаются с размерностью [время[sup]1].

Для практических нужд (выбор разностной схемы, ее программная реализация, исследование полученных результатов) оказалась ненужной "полная" нормализация уравнения - было бы трудно интерпретировать физический смысл полученных безразмерных комплексов.

Таким образом, в большинстве случаев методы подобия дают универсальные модели процессов, и как следствие, алгоритмы их исследования. Однако они (методы) не могут быть применены абсолютно ко всем задачам, что оставляет исследователям возможности для творческой самореализации.

Библиографический список

  1. Лыков А.В. Теория тепло- и массопереноса / М.: Гос. энерг. изд-во, 1963. - 535 с.
  2. Клайн С.Дж. Подобие и приближенные методы / М.: Мир, 1968. - 302 с.
  3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики / М.: Гос. изд-во техн.- теор. лит-ры, 1953. - 679 с.
  4. Самарский А.А. Теория разностных схем / М.: Наука, 1989. - 614 с.
  5. Исследования по теплопроводности / Под ред. Лыкова А.В. - Минск: Наука и техника, 1967. - 575 с.


 

Разделы конференции »

  1. Государственный кадастр недвижимости и земельно-имущественные отношения
  2. Мониторинг природных ресурсов и охрана окружающей среды
  3. Комплексное использование природных ресурсов
  4. Современные вопросы геологии
  5. Физика горных пород
  6. Новые технологии в природопользовании
  7. Применение современных информационных технологий
  8. Экономические аспекты недвижимости
  9. Мониторинг использования объектов недвижимости
  10. Топографо-геодезическое обеспечение кадастровых работ

 

Проекту Kadastr.ORG требуются средства на хостинг и развитие

Сумма: руб.